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四分術(shù)之“連大”“無(wú)連小”與三統(tǒng)歷“日法”數(shù)源考
（首發(fā)）
王元鈞
文章簡(jiǎn)介：該文根據(jù)太初歷之前的四分歷朔望月數(shù)據(jù)29日又940分日之499、大月30日、小月29日和月朔小余月月承繼的特點(diǎn)，對(duì)古四分歷的“大月”、“小月”、“連大”、“無(wú)連小”、“無(wú)三連大”、“連大”月間距、連大朔小余的關(guān)聯(lián)關(guān)系以及“連大”大周期等歷法問(wèn)題做了深入的數(shù)理分析，對(duì)修復(fù)先秦及漢初已出土歷譜，具有基礎(chǔ)性作用。該文通過(guò)連大月距的深入，找到了四分術(shù)其后世三統(tǒng)歷的朔望月數(shù)據(jù)來(lái)源。
關(guān)鍵詞：四分術(shù) “三大二小” 連大 連大月距 三統(tǒng)歷數(shù)源
我們知道，漢孝武帝施行太初歷前，我國(guó)歷法采用的是四分術(shù)，其朔望月為29日又940分日之499。本文通過(guò)數(shù)理推導(dǎo)，探求四分術(shù)的月序排列規(guī)律，得出四分術(shù)“無(wú)連小”，“無(wú)三連大”以及兩次“連大”之間的月間距數(shù)規(guī)律，為修復(fù)“六古歷”提供基礎(chǔ)性的工作。
一、 四分術(shù)“無(wú)連小”
二、 四分術(shù)“大月”的基本特征
三、 四分術(shù)“小月”的基本特征
四、 四分術(shù)“兩月連大”的基本特征
五、 四分術(shù)“無(wú)三連大”
六、 四分術(shù)“連大”大周期
七、 四分術(shù)兩次“連大”之間的月間距數(shù)是13月或15月
八、 四分術(shù)“連大”的月間距規(guī)律
九、 太初歷（三統(tǒng)歷）的日法根源于四分術(shù)“連大”的月間距規(guī)律
一、四分術(shù)“無(wú)連小”
四分術(shù)朔望月29+499/940日，每月月朔小余必然介于0~939之間。
假定第N月月朔小余為a，（0≤a≤939，a∈Z）。
如果第N月為小月，則：a/940+29+499/940﹤30，即a﹤441.
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤a≤939，a∈Z，所以，0≤a≤440，a∈Z.
于是，第N月日數(shù)（a/940+29+499/940）的區(qū)間是：
0/940+29+499/940≤a/940+29+499/940≤440/940+29+499/940
即29+499/940≤第N月日數(shù)≤29+939/940
日數(shù)取整，第N月日數(shù)為29日，不足一日的分?jǐn)?shù)值作為下月月朔小余，即第N+1月朔小余必介于499~939之間（閉區(qū)間）。
于是第N+1月的日數(shù)為：499/940+29+499/940≤第N+1月日數(shù)≤939/940+29+499/940
即30+58/940≤第N+1月日數(shù)≤30+498/940. 日數(shù)取整，因此第N+1月日數(shù)為30日。
也就是說(shuō)，不論第N月月朔小余是多少，如果它是小月，那么第N+1月必然是大月。
因此，以29+499/940日為朔望月日數(shù)的四分歷不可能有“兩月連小”的現(xiàn)象。
我們稱其為：四分歷“無(wú)連小”定理。
那么什么情況下會(huì)出現(xiàn)連小呢？除非調(diào)小朔望月。我們知道，這里29+（499/940）數(shù)值中的940，按照后世三統(tǒng)歷的規(guī)制，稱“日法”，按照后漢四分歷的叫法，稱“部月”。那么我們?nèi)绻３秩辗ú蛔?，設(shè)940所命之分子為A。
即令朔望月數(shù)值為29日940分之A，令連小的第一個(gè)小月的月朔小余為X（這里0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z）。兩月連小意味著：
29*2+0/940≤X/940+（29+A/940）*2≤29*2+939/940.即：0≤X+2A≤939
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤X≤939，A，X∈Z，所以0≤A≤469
也就是說(shuō)，當(dāng)朔望月數(shù)值小于或等于29日又940分之469時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)兩月“連小”。
二、四分術(shù)“大月”的基本特征
假定第N月月朔小余為a，（0≤a≤939，a∈Z）。
如果第N月為大月，則：a/940+29+499/940≥30，即a≥441.
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤a≤939，a∈Z，那么有：441≤a≤939，a∈Z.
反之，當(dāng)441≤a≤939，a∈Z時(shí)，有30+498/940≥a/940+29+499/940≥30+0/940
即第N月該月必然是大月；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于0～498之間。
而當(dāng)440≥a≥0，a∈Z時(shí)，有29+939/940≥a/940+29+499/940≥29+499/940
即第N月該月必然是小月；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于499～939之間。
即如果第N月是大月，其月朔小余a必然介于441～939之間（閉區(qū)間），且該大月之后下一月第N+1月的月朔小余必然介于0~498之間（閉區(qū)間）；
如果第N月月朔小余a介于441～939之間（閉區(qū)間），則第N月必然是大月。
如果第N月月朔小余a介于0～440之間（閉區(qū)間），則第N月必然不是大月，而是小月。
我們稱之為：四分歷“大月”定理。
三、四分術(shù)“小月”的基本特征
假定第N月月朔小余為a，（0≤a≤939,a∈Z）
前面論證四分歷“無(wú)連小”定理過(guò)程中，得知：
（1）如果第N月為小月，則 0≤a≤440，a∈Z.
由“大月”定理，得知：
（2）如果第N月月朔小余的值域?yàn)椋?SPAN lang=EN-US>0≤a≤440，a∈Z
則第N月必然是小月。
（3）如果第N月月朔小余的值域?yàn)椋?SPAN lang=EN-US>441≤a≤939，a∈Z
則第N月必然是大月。
從論證“無(wú)連小”定理過(guò)程中得知，如果第N月為小月，第 N+1月朔小余必然介于499~939之間（閉區(qū)間）；從而根據(jù)“大月”定理得知，第N+1月必為大月。
那么相反呢？如果第N+1月朔小余b介于499~939之間（閉區(qū)間），第N月日數(shù)情況會(huì)怎樣呢？假如第N月是大月，則其月朔小余必然介于441≤a≤939,且有a/499+29+499/940-30= b/499
則b=a-441，根據(jù)441≤a≤939，有0≤b≤498，這不符合b介于499~939之間（閉區(qū)間）值域。
也就是說(shuō)第N+1月朔小余b介于499~939之間時(shí)，第N月不可能是大月，而是小月。
據(jù)此，我們得知：
當(dāng)某（第N月）為小月時(shí)，則其月朔小余a必然介于0≤a≤440，a∈Z，且其次月（第N+1月）朔小余必然介于499～939之間（閉區(qū)間），并且該次月（第N+1月）必為大月；
當(dāng)某月（第N月）月朔小余a介于0≤a≤440，a∈Z時(shí)，則該月必然是小月，否則是大月；
當(dāng)某月（第N+1月）朔小余介于499～939之間（閉區(qū)間）時(shí)，則前一月（第N月）必然是小月；
當(dāng)某月（第N+1月）朔小余b介于0～498之間（閉區(qū)間）時(shí)，則前一月（第N月）必然不是小月，而是大月。
我們稱之為：四分歷“小月”定理。
四、四分術(shù)“兩月連大”的基本特征
兩月連大，即第N月和第N+1月都是大月。為行文方便，先定義幾個(gè)概念：稱“兩月連大”的第一個(gè)大月為“前大”，第二個(gè)大月為“后大”。
令前大（第N月）的月朔小余是a，后大（第N+1月）月朔小余是b。
那么根據(jù)古歷“大月”小余定理，有：441≤a≤939，a∈Z；441≤b≤939，b∈Z
兩月連大，意味著第N月和第N+1月的日數(shù)都是30日，所以有以下兩式：
（1）a/940+(29+499/940)-30= b/940；且有：a/940+(29+499/940)*2≥30*2，即a≥882
（2）a/940+（29+499/940）*2-60= c/940
根據(jù)上式有：b=a-441，即a=b+441 （關(guān)系通式1）
c=a-882，即a=c+882 （關(guān)系通式2）
根據(jù)“大月”定理，有441≤a≤939，a∈Z，所以有：882≤a≤939，a∈Z
又根據(jù)a=441+b；882≤a≤939，a∈Z；441≤b≤939，b∈Z，有441≤b≤498，b∈Z
即兩月連大，則前大（第N月）月朔小余值域?yàn)?882≤a≤939，a∈Z；后大（第N+1月）月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>441≤b≤498，b∈Z
反之，如果第N月月朔小余值域?yàn)椋?SPAN lang=EN-US>882≤a≤939，a∈Z，則：
第N月的日數(shù)a/940+29+499/940 為：
882/940+29+499/940≤a/940+29+499/940≤ 939/940+29+499/940
即30+441/940≤第N月的日數(shù)≤30+498/940
則第N月為大月，且第N+1月的月朔小余b介于441~498之間（閉區(qū)間），根據(jù)“大月”定理，第N+1月同樣為大月。
如果第N月和第N+1月兩月連大，則第N+2月）的月朔小余值域如何？
令第N+2月的月朔小余為c。
因?yàn)榈?SPAN lang=EN-US>N+1月是大月，根據(jù)“大月”定理，有：0≤c≤498，c∈Z.
且有：b/940+（29+499/940） -30= c/940
即：c=b-441，即b=441+c &nbs p; （關(guān)系通式3）
上述推理已得知：441≤b≤498，b∈Z； 則441≤441+c≤498
即：0≤c≤57，c∈Z.
即第N月和第N+1月兩月連大，則第N月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>882≤ a≤939，a∈Z；第N+1月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>441≤b≤498，b∈Z；第N+2月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤c≤57，c∈Z.
以上推理的反推同樣成立，即當(dāng)某月月朔小余0≤c≤57，c∈Z時(shí)，其前面兩月必然是連大。
推理如下：
假設(shè)某月為第N+2月，其月朔小余為c，0≤c≤57，c∈Z，又令第N月和第N+1月月朔小余分別為a和b.
則根據(jù)四分歷“小月”定理，第N+2月的月朔小余介于0～440時(shí)，該月為小月，
又根據(jù)四分歷“無(wú)連小”定理，則第N+1月和第N+3月都是大月。
根據(jù)“大月”定理，第N+1月是大月，則其月朔小余b的值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>441≤b≤939，b∈Z.
又因?yàn)?SPAN lang=EN-US>N+1月是大月，所以：b/940+（29+499/940）-30= c/940，所以c=b-441，即b=441+c
由0≤c≤57，得知：441≤b≤498，b∈Z
再根據(jù)“小月”定理：當(dāng)某月朔小余b介于0~498之間（閉區(qū)間）時(shí)，則前一月則必然不是小月，而是大月。所以這里第N+1月的月朔小余441≤b≤498，b∈Z推得，第N月為大月。
也就是說(shuō)：
當(dāng)某月和次月（第N月和第N+1月）兩月連大時(shí)，則該某月（第N月）朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>882～939之間（閉區(qū)間）的整數(shù)；且該次月（第N+1月）朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>441～498之間（閉區(qū)間）的整數(shù)；且再次月（第N+2月）朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>0～57之間（閉區(qū)間）的整數(shù)。
反之，當(dāng)某月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN-US>0～57之間（閉區(qū)間）的整數(shù)時(shí)，則該月前兩月必然連大；當(dāng)某月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN- US>882～939之間（閉區(qū)間）的整數(shù)時(shí)，則該月和次月連大；當(dāng)某月朔小余值域?yàn)?SPAN lang=EN- US>441～498之間（閉區(qū)間）的整數(shù)時(shí)，則該月和前一月連大。
我們稱之為：四分術(shù)“連大”定理。
我們把關(guān)系式1-3稱為：四分術(shù)“連大”月朔小余關(guān)系通式。
五、四分術(shù)“無(wú)三月連大”
補(bǔ)充一個(gè)概念：我們稱“兩月連大”后大之后的第一個(gè)小月為“后小”。
設(shè)第N月和第N+1月都是大月，且第N月月朔小余是a，第N+1月月朔小余是b。
又設(shè)第N+2月月朔小余是c.
根據(jù)四分術(shù)“連大”定理，有：0≤c≤57，c∈Z
根據(jù)“小月”定理，得知在第N+2月的月朔0≤c≤57情況下，第N+2月必然為小月。
因此，四分術(shù)如果出現(xiàn)兩月連大，那么在此之后必然跟的是小月。
我們稱之為：四分術(shù)“無(wú)三月連大”定理。
那么什么情況下會(huì)出現(xiàn)“三連大”呢？除非調(diào)大朔望月。我們?nèi)绻３秩辗ú蛔?，設(shè) 940所命之分子為A。
即令朔望月數(shù)值為29日940分之A，令連大前大的月朔小余為X（這里 0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z）。三月連大意味著A，X需要同時(shí)滿足三個(gè)條件：
30+0/940≤X/940+（29+A/940）≤30+939/940 ; （1）
30*2+0/940≤X/940+（29+A/940）*2≤30*2+939/940 （2）
30*3+0/940≤X/940+（29+A/940）*3≤30*3+939/940 （3）
條件一要求：940≤X+A≤939+940
條件二要求：940*2≤X+2A≤939+940*2
條件三要求：940*3≤X+3A≤939+940*3
940-X/3≤A；因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z
所以有：627≤A≤939
也就是說(shuō)，朔望月介于29日又940分之627與939之間（閉區(qū)間）時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)“三大”。
以上四分術(shù)“無(wú)三連大”和“無(wú)連小”的現(xiàn)象，大概古代治歷者早有意會(huì)，并且?guī)壮沙ＷR(shí)，只是未見(jiàn)推理。后來(lái)漢孝武帝廢黜四分術(shù)，改行太初歷，日法81；后漢復(fù)行四分；再到魏晉南北朝眾歷百家爭(zhēng)鳴，尤其是后世張子信發(fā)見(jiàn)日躔月離，歷家始用內(nèi)插法[1]，歷譜歷注逐漸考慮定氣定朔，但是四分術(shù)的“無(wú)三連大”和“無(wú)連小”的表象特征依然深刻在不少主流治歷者的常識(shí)里。每每他們遇到有新歷法出現(xiàn)某年“三月連大”甚至“四月連大”此時(shí)，就會(huì)“無(wú)三月連大”和“無(wú)連小”的“常識(shí)”來(lái)反駁。
南北朝劉宋時(shí)期何承天《元嘉歷》改平為定，有“三大，二小”的現(xiàn)象，成為當(dāng)時(shí)反對(duì)者錢(qián)、嚴(yán)等人的把柄，“愚謂此一條，自宜仍舊”，使得何氏有理難辯。歷家尚難辨，史家就更不知內(nèi)情，只知與以往歷譜很不相同，故云：“承天法，每月朔望及弦，皆定大小余，於推交會(huì)時(shí)刻雖審，皆用盈縮，則月有頻三大，頻二小，比舊法殊為異?！?A title="" href="#_edn2" name=_ednref2>[2]用今天的話講，就是何承天的歷法好是好，日月食交會(huì)都能預(yù)測(cè)到，可是，老是冒出“三連大和二連小”的毛病，與老祖宗的歷法比，太怪異。祖沖之《甲子元?dú)v》也有“三大二小”，同樣因?yàn)闄?quán)臣一知半解，而以之為籍口，不予推行云云。令人不禁想起墨守成規(guī)和刻舟求劍的笑話。
素不知，“無(wú)三月連大”和“無(wú)連小”其實(shí)是由四分術(shù)的朔望月數(shù)據(jù)決定的，豈可說(shuō)四分術(shù)當(dāng)年不存在的現(xiàn)象，后世就不能出現(xiàn)。相反，正是由于歷法的發(fā)展，定氣定朔，究研漏晷，推求交食，不斷探求密近朔望和回歸年，才有“三連大”或“連小”的現(xiàn)象。
當(dāng)然，推陳出新的歷法改革者本身是否會(huì)讓那時(shí)的聽(tīng)眾明白“三連大”和“連小”的內(nèi)在原因，這也是值得打個(gè)小問(wèn)號(hào)的。
六、四分術(shù)的“連大”大周期
所謂連大的大周期：即一次連大后，經(jīng)過(guò)若干月，再次發(fā)生連大，且兩者后小的月朔小余相等。
我們已知四分術(shù)的朔望月是29日又940分之499，先求任何月的月朔小余重復(fù)出現(xiàn)的周期。
令某月的月朔小余是A，經(jīng)過(guò)M個(gè)月后，月朔小余再次為A；同時(shí)令期間有a 個(gè)小月。
顯然，這三個(gè)數(shù)都必然是自然數(shù)，且A∈[0，939]，M＞0，0＜a＜M
要使得兩次月朔小余相等，就等于求解下列等式：
A/940+(29+499/940)*M=29*a+30*(M-a)+A/940
等式兩邊都約去A/940，經(jīng)整理，有：441/940*M=a，由于441和940互質(zhì)，故M和a的最小整數(shù)解為940和441.
也就是說(shuō)，不論A在其定義域[0，939]內(nèi)任取其值，經(jīng)過(guò)940個(gè)朔望月，月朔小余再次等于A.且此940個(gè)月周期內(nèi)，共有441個(gè)小月， 499個(gè)大月。
這正是四分術(shù)朔望月的重要參數(shù)：29+（499/940）日的含義。
即：小月日數(shù)29日，月朔小余經(jīng)過(guò)940個(gè)月重復(fù)還原；在此月朔小余大周期中，共有499個(gè)大月。
四分術(shù)實(shí)行19年7閏的閏制， 19年=19年*12月/年+7閏月=235月，所以，這個(gè)月朔小余周期又可以換算成整數(shù)年：940月=235月*4=19年*4=76年
也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)76年，月朔小余相等。
這個(gè)940個(gè)月的月朔小余周期，也正是我們所要求的連大大周期。
證明很簡(jiǎn)單：
既然940個(gè)月是月朔小余的周期，那么940個(gè)月內(nèi)，不可能有相同的月朔小余；只有940的整數(shù)倍年后月朔小余才必然相等。
根據(jù)連大定理，當(dāng)且僅當(dāng)月朔小余介于[882，939]時(shí)，則該月和其后一月必然連大；而月朔小余又是以940個(gè)月為周期的，所以，連大的大周期（月朔小余相等的）必然是940個(gè)月。
四分術(shù)中每經(jīng)過(guò)940個(gè)月發(fā)生一次月朔小余與上一次連大相等的連大現(xiàn)象。
我們稱之為“連大大周期”定理。
七、四分術(shù)兩次“連大”的月間距是13月或15月
為行文方便，補(bǔ)充定義幾個(gè)概念：稱兩次“兩月連大”的第一次連大為“前連”，第二次連大為“后連”；稱“兩次連大之間的月間距”為“連大月距”。
現(xiàn)有第N月和第N+1月發(fā)生連大，其后間隔Y月后再次(即第N+2+Y月和第N+3+Y月)發(fā)生連大，令第N月、第N+1月和第N+2月三個(gè)月的月朔小余分別是a、b和c；又令第N+2+Y月、第N+3+Y月和第N+4+Y月的月朔小余分別為x、y和z.
根據(jù)四分術(shù)“無(wú)連小”定理，兩次連大月之間的月序必然是“小大小大……小”相間，即Y必然是奇數(shù)。根據(jù)連大定理，有：
882 ≤a≤939；441≤b≤498; 0≤c≤57, 且a,b,c ∈Z.
882 ≤x≤939；441≤y≤498; 0≤z≤57, 且x,y,z ∈Z.
根據(jù)連大規(guī)律即Y為奇數(shù)，那么應(yīng)有：
c/940+(29+499/940)*Y=(29+30)*(Y- 1)/2+29+x/940
即c+29Y+470=x；Y=(x-c-470)/29;
又因x=z+882,故Y=(z-c+412)/29 ，z=c+29Y-412 ,c=z+412-29Y
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤c≤57，882≤x≤939，所以：825≤x-c≤939
可得：355/29≤Y≤469/29
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>Y是自然數(shù)，所以13≤Y≤15；
又因?yàn)?SPAN lang=EN-US>Y是奇數(shù)，則，Y只有 13或者15兩種可能。
即Y=(z-c+412)/29等式，其Y的自然數(shù)解只有兩個(gè)，13或15。
相應(yīng)的，z=c+29Y-412等式在Y=13或15時(shí)，z和c有一一對(duì)應(yīng)的一組解，兩者互為函數(shù)。
考慮到c和z的定義域0≤c≤57，0≤z≤57；
又因?yàn)?SPAN lang=EN-US>Y只有13或15兩種可能，且對(duì)應(yīng)的c和z的函數(shù)關(guān)系只有：
如果Y=13,則c=z+35；且有0≤z≤22；35≤c≤57
如果Y=15,則c=z-23；且有23≤z≤57；0≤c≤34
相反，當(dāng)0≤z≤22時(shí)， 0≤c+29Y-412≤22，412-29Y≤c≤434-29Y
根據(jù)前面證明的Y只有13或者 15兩種取值可能，得Y只有一解：Y=13；
將Y=13代入c+29Y-412=z 有c=z+35，所以再根據(jù)0≤z≤22，有35≤c≤57
（或者另證：當(dāng)0≤z≤22時(shí)，c=z-23等式無(wú)解，所以，c和z的函數(shù)關(guān)系只能是c=z+35.從而代入c+29Y-412=z 有29Y=412-35=377, Y=13；再結(jié)合0≤z≤22，Y=13和c+29Y-412=z三條件，有 35≤c≤57）
而當(dāng)35≤c≤57時(shí)，因?yàn)?U>c+29Y-412=z，則有35≤z+412-29Y≤57，這里Y只有唯一解：Y=13；z有一組解且0≤z≤22.
將Y=13代入c+29Y-412=z 有c=z+35.
當(dāng)23≤z≤57時(shí)，因?yàn)?U>c+29Y-412=z，則有23≤c+29Y-412≤57，435-29Y≤c≤469-29Y
根據(jù)Y和c兩數(shù)的取值定義域， Y只有一個(gè)解：Y=15；
將Y=15代入c+29Y-412=z 有c=z-23，則0≤c≤34
而當(dāng)0≤c≤34時(shí)，因?yàn)?U>c+29Y-412=z，則有0≤z+412-29Y≤34，這里Y只有一個(gè)解：Y=15；
將Y=15代入c+29Y-412=z 有c=z-23，則23≤z≤57
小結(jié)：四分術(shù)的歷譜中，兩次“連大”之間的間距，要么是15個(gè)月，要么是13個(gè)月，不會(huì)有其他可能。
我們稱之為“連大月距13或15月定理”，簡(jiǎn)稱“連大月距定理”。
公式：c+29Y+470=x，因x=441+y=882+z，所以：c+29M-412=z (關(guān)系通式4)
(1)連大月間距的朔小余關(guān)系式：前連后小朔小余+29倍的連大月距數(shù)+470等于后連前大朔小余
(2)前后連后小的朔小余關(guān)系式：前連后小朔小余+29倍的連大月距數(shù)-412等于后連后小朔小余
公式：當(dāng)Y=13時(shí)，c-35=z，且0≤z≤22；35≤c≤57；
當(dāng)Y=15時(shí)，c+23=z；且23≤z≤57；0≤c≤34 (關(guān)系組式5)
（1）當(dāng)連大月間距為13月時(shí)，前連后小月朔小余-35等于后連后小朔小余，且后連后小月朔小余介于0～22（閉區(qū)間）之間；前連后小月朔小余介于35～57（閉區(qū)間）之間；
（2）當(dāng)連大月間距為15月時(shí)，前連后小月朔小余+23等于后連后小朔小余，且后連后小月朔小余介于23～57（閉區(qū)間）之間；前連后小月朔小余介于0～34（閉區(qū)間）之間；
公式：當(dāng)0≤c≤34時(shí)，Y=15，c+23=z且23≤z≤57；
當(dāng)35≤c≤57時(shí)，Y=13，c-35=z且0≤z≤22；
當(dāng)0≤z≤22時(shí)，Y=13，c-35=z且35≤c≤57；
當(dāng)23≤z≤57時(shí)，Y=15，c+23=z且0≤c≤34 &nbs p;(關(guān)系組式6)
當(dāng)連大后小月朔小余介于0～34（閉區(qū)間）時(shí)，則此次連大之后15個(gè)月必然再次連大；
當(dāng)連大后小月朔小余介于35～57（閉區(qū)間）時(shí)，則此次連大之后13個(gè)月必然再次連大；
當(dāng)連大后小月朔小余介于0～22（閉區(qū)間）時(shí)，則此次連大之前13個(gè)月必然再次連大；
當(dāng)連大后小月朔小余介于23～57（閉區(qū)間）時(shí)，則此次連大之前15個(gè)月必然再次連大。
我們稱關(guān)系式4、5、6為“連大”月距間月朔小余關(guān)系通式。
八、四分術(shù)“連大”的月間距規(guī)律
既然兩次連大之間的連大月距是13月或15月，那么其再前后的連大月距將是如何？
我們?cè)俣x連大月距13月為“連大小距”，稱連大月距 15為“連大大距”。
根據(jù)關(guān)系組式6：
當(dāng)0≤c≤34時(shí)，其后的連大月距為大距15，c+23=z且 23≤z≤57；
當(dāng)35≤c≤57時(shí)，其后的連大月距為小距13，c-35=z且 0≤z≤22；
就是說(shuō)，當(dāng)連大后小月朔小余0≤c≤34時(shí)，其后連大月距為大距，而后小月朔小余為23+c.
當(dāng)12≤c≤34時(shí)，其后連大月距為大距，但是其后小月朔23+c≥35，從而其后連大月距為小距。
當(dāng)0≤c≤11時(shí)，因?yàn)?SPAN lang=EN-US>0≤23+c≤34，所以，其大距后依然是大距。
而兩次連大大距后的連大其后小月朔小余為23+23+c=46+c，必然大于46，從而其后連大月距必然為小距。
當(dāng)35≤c≤57時(shí)，其后連大月距是小距13，而其連大后小的月朔小余為c-35.因?yàn)?SPAN lang=EN-US>35≤c≤57，所以，不論c取何值，c-35≤22，從而下一個(gè)連大月距必然為大距15.
也就是說(shuō)，連大月距不可能連續(xù)2次為小距；也不可能連續(xù) 3次為大距。
我們稱之為連大“無(wú)三大距和無(wú)二小距”定理。
九、太初歷（三統(tǒng)歷）的日法根源于四分術(shù)“連大”的月間距規(guī)律
根據(jù)連大大周期定理，940個(gè)月之內(nèi)，連大各月朔小余不重復(fù)出現(xiàn)，且每隔940個(gè)月重復(fù)出現(xiàn)一次月朔小余相同的連大。而根據(jù)連大月間距月朔小余關(guān)系通式，前后連大之間的月朔小余及月間距是有函數(shù)關(guān)系的，那么就是說(shuō)，在940個(gè)月內(nèi)，這些連大月朔小余之間彼此既存在函數(shù)關(guān)系，又互不重復(fù)。那么940月內(nèi)，后小月朔小余相差一的間距情況怎樣呢？
假設(shè)某連大后小月朔小余為C,經(jīng)過(guò)X個(gè)月（其中N個(gè)大月）后，月朔小余為C-1.則有：
C/940+(29+499/940)*X=29*(X-N)+30N+(C- 1)/940
經(jīng)過(guò)整理有：499X=940N-1，940N=1+499X
這是一個(gè)一次同余式：
940N＝1 (MOD 499)
根據(jù)連大大周期得知，940月，大月499次，則N≤499,此域內(nèi)，上式有解： N最小值為43，X=81
（解法擬另文討論）
即每隔81個(gè)月會(huì)出現(xiàn)月朔小余依次減1.且這個(gè)81月內(nèi)，有43個(gè)大月。
這個(gè)43和81正是后世鄧平太初歷（后經(jīng)劉歆易名為“三統(tǒng)歷”）的朔望月的重要數(shù)據(jù)。
筆者認(rèn)為，三統(tǒng)歷的朔望月數(shù)據(jù)29日又81分之43，正是來(lái)源于此。
也就是說(shuō)，落下閎、鄧平在保持“19年7閏和小月29日不變”的前提下，將“四分術(shù)月朔小余每940個(gè)月重復(fù)出現(xiàn)，且期間包含499個(gè)大月”的歷法參數(shù)規(guī)律調(diào)整為“月朔小余每81個(gè)月遞減1分，81個(gè)月期間包含43個(gè)大月”的太初歷參數(shù)內(nèi)涵，從而以此為基礎(chǔ)，創(chuàng)制太初歷。
只是他們沒(méi)有闡明其中天機(jī)奧妙，反倒附會(huì)“律容”“黃鐘”云云，故弄玄虛，后又經(jīng)劉歆加工包裝，稱“元始黃鐘初九自乘”更是難見(jiàn)面目，從而留下一筆2000多年的糊涂案。
這個(gè)論說(shuō)，大概對(duì)于呂子方的連分?jǐn)?shù)推導(dǎo)論[3]、朱文鑫的子母相加論[4]、李繼閔的調(diào)日法論[5]和薄樹(shù)人的不可解釋論[6]似乎是一個(gè)比較有意義的補(bǔ)充或糾正。
根據(jù)連大定理，連大后小月朔小余為[0，57]，我們可得知，假如從月朔小余0出發(fā)，則940個(gè)月內(nèi)沒(méi)有重復(fù)，我們令某次連大后小的月朔小余為C.
則該次連大后每次連大的月距設(shè)為M1，M2，M3，M4……
且相應(yīng)的各次連大后小月朔小余分別為C1，C2，C3，C4……
根據(jù)連大間距月朔小余關(guān)系式，有：
C+M1*29-412=C1，C1+M2*29-412=C2，C2+M3*29-412=C3……
從某連大后小的月朔小余＝0出發(fā)推求，根據(jù)連大月距間月朔小余關(guān)系通式有：
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C=0, 則 M1=15，C+23=C1,C1=23；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C1=23,則 M2=15，C1+23=C2,C2=46；因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C2=46,則 M3=13，C2-35=C3,C3=11；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C3=11,則 M4=15，C3+23=C4,C4=34；因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C4=34,則 M5=15，C4+23=C5,C5=57；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C5=57,則 M6=13，C5-35=C6,C6=22；因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C6=22,則 M7=15，C6+23=C7,C7=45；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C7=45,則 M8=13，C7-35=C8,C8=10；因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C8=10,則 M9=15，C8+23=C9,C9=33；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US> C9=33,則M10=15，C9+23=C10,C10=56；因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C10=56,則M11=13，C10-35=C11,C11=21；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C11=21,則M12=15，C11+23=C12,C12=44；因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C12=44,則M13=13，C12-35=C13,C13=9；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C13=9,則M14=15，C13+23=C14,C14=32；因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C14=32,則M15=15，C14+23=C15,C15=55；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C15=55,則M16=13，C15-35=C16,C16=20；因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C16=20,則M17=15，C16+23=C17,C17=43；
因?yàn)?SPAN lang=EN-US>C17=43,則M18=13，C17-35=C18,C13=8；……
……
如果我們根據(jù)“連大月朔小余關(guān)系和連大月距間月朔關(guān)系通式”，以初始月朔小余為 0的某月為起點(diǎn)，不斷推求，就會(huì)有越來(lái)越細(xì)的規(guī)律顯現(xiàn)出來(lái)。
一個(gè)連大大周期940個(gè)月內(nèi)，共有58次兩月連大，即連大月為116個(gè)月；其余為“小大小大……小”相間的連大月距間隔其中。
而連大月距的大小距之間，顯示我們論證的“無(wú)三大距和無(wú)二小距”；且連大的大距和小距之間呈現(xiàn)出：“大，大小大大小，大小大大小，大小大大小，……大小大大小，大小”次序規(guī)律。即81個(gè)月（包含5次連大和其間的“大小大大小”5次連大月距，共計(jì)5*2+15+13+15+15+13=81）重復(fù)出現(xiàn)月朔小余遞減 1的規(guī)律。
（如果用EXCEL表格來(lái)推求，就會(huì)非常輕松地得到連大在 940個(gè)月之內(nèi)的詳細(xì)月朔小余對(duì)應(yīng)以及連大月距情況，見(jiàn)“連大大周期940 個(gè)月簡(jiǎn)表”。）
|
連大大周期（940個(gè)月）簡(jiǎn)表 | ||||||
|
連大月距 |
連大月距條件函數(shù) |
連大月序 |
前大月朔小余 |
后大月朔小余 |
后小月朔小余 |
后小月朔小余條件函數(shù) |
|
M |
|
|
A |
B |
C |
|
|
|
|
|
882 |
441 |
0 |
|
|
15 |
=IF(F4<35,15,13) |
1 |
905 |
464 |
23 |
=IF(F4<58,F4+A5*29-412) |
|
15 |
=IF(F5<35,15,13) |
2 |
928 |
487 |
46 |
=IF(F5<58,F5+A6*29-412) |
|
13 |
=IF(F6<35,15,13） |
3 |
893 |
452 |
11 |
=IF(F6<58,F6+A7*29-412) |
|
15 |
=IF(F7<35,15,13） |
4 |
916 |
475 |
34 |
=IF(F7<58,F7+A8*29-412) |
|
15 |
…… |
5 |
939 |
498 |
57 |
…… |
|
13 |
|
6 |
904 |
463 |
22 |
|
|
15 |
|
7 |
927 |
486 |
45 |
|
|
13 |
|
8 |
892 |
451 |
10 |
|
|
15 |
|
9 |
915 |
474 |
33 |
|
|
15 |
|
10 |
938 |
497 |
56 |
|
|
13 |
|
11 |
903 |
462 |
21 |
|
|
15 |
|
12 |
926 |
485 |
44 |
|
|
13 |
|
13 |
891 |
450 |
9 |
|
|
15 |
|
14 |
914 |
473 |
32 |
|
|
15 |
|
15 |
937 |
496 |
55 |
|
|
13 |
|
16 |
902 |
461 |
20 |
|
|
15 |
|
17 |
925 |
484 |
43 |
|
|
13 |
|
18 |
890 |
449 |
8 |
|
|
15 |
|
19 |
913 |
472 |
31 |
|
|
15 |
|
20 |
936 |
495 |
54 |
|
|
13 |
|
21 |
901 |
460 |
19 |
|
|
15 |
|
22 |
924 |
483 |
42 |
|
|
13 |
|
23 |
889 |
448 |
7 |
|
|
15 |
|
24 |
912 |
471 |
30 |
|
|
15 |
|
25 |
935 |
494 |
53 |
|
|
13 |
|
26 |
900 |
459 |
18 |
|
|
15 |
|
27 |
923 |
482 |
41 |
|
|
13 |
|
28 |
888 |
447 |
6 |
|
|
15 |
|
29 |
911 |
470 |
29 |
|
|
15 |
|
30 |
934 |
493 |
52 |
|
|
13 |
|
31 |
899 |
458 |
17 |
|
|
15 |
|
32 |
922 |
481 |
40 |
|
|
13 |
|
33 |
887 |
446 |
5 |
|
|
15 |
|
34 |
910 |
469 |
28 |
|
|
15 |
|
35 |
933 |
492 |
51 |
|
|
13 |
|
36 |
898 |
457 |
16 |
|
|
15 |
|
37 |
921 |
480 |
39 |
|
|
13 |
|
38 |
886 |
445 |
4 |
|
|
15 |
|
39 |
909 |
468 |
27 |
|
|
15 |
|
40 |
932 |
491 |
50 |
|
|
13 |
|
41 |
897 |
456 |
15 |
|
|
15 |
|
42 |
920 |
479 |
38 |
|
|
13 |
|
43 |
885 |
444 |
3 |
|
|
15 |
|
44 |
908 |
467 |
26 |
|
|
15 |
|
45 |
931 |
490 |
49 |
|
|
13 |
|
46 |
896 |
455 |
14 |
|
|
15 |
|
47 |
919 |
478 |
37 |
|
|
13 |
|
48 |
884 |
443 |
2 |
|
|
15 |
|
49 |
907 |
466 |
25 |
|
|
15 |
|
50 |
930 |
489 |
48 |
|
|
13 |
|
51 |
895 |
454 |
13 |
|
|
15 |
|
52 |
918 |
477 |
36 |
|
|
13 |
|
53 |
883 |
442 |
1 |
|
|
15 |
|
54 |
906 |
465 |
24 |
|
|
15 |
|
55 |
929 |
488 |
47 |
|
|
13 |
|
56 |
894 |
453 |
12 |
|
|
15 |
|
57 |
917 |
476 |
35 |
|
|
13 |
|
58 |
882 |
441 |
0 |
|
|
824 |
連大月距月數(shù) |
116 |
連大月數(shù) |
合計(jì)月數(shù)為 |
940 | |
EXCEL表格清晰反映出連大月距的深層月朔小余數(shù)值關(guān)系以及與連大月距之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
通過(guò)EXCEL我們發(fā)現(xiàn)，在940個(gè)月大周期內(nèi)，從月朔小余為0開(kāi)始，經(jīng)過(guò)第一次連大后的后小月朔小余為23，自此，每隔（2+15+2+13+2+15+2+15+2+13）=81個(gè)月出現(xiàn)月朔小余依次減一的現(xiàn)象。驗(yàn)證了筆者的推理。
以上分析出的四分歷大小月規(guī)律，可以為已出土的歷譜進(jìn)行修復(fù)和還原提供比較有用的原理性支持。如果結(jié)合月朔小余和24氣小余，就可以進(jìn)一步為還原上古歷法提供幫助。
[1] 曲安京，《中國(guó)數(shù)理天文學(xué)》，科學(xué)出版社，2008，p133-p389
劉洪濤，《古代歷法計(jì)算法》，南開(kāi)大學(xué)出版社， 2003年，第一版，p241
[2]《宋書(shū) 歷志上》，見(jiàn)“國(guó)學(xué)網(wǎng)”四庫(kù)叢書(shū)
劉洪濤，《古代歷法計(jì)算法》，南開(kāi)大學(xué)出版社， 2003年，第一版
[3] 呂子方，“《三統(tǒng)歷》歷意及其數(shù)源”，見(jiàn)《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史論文集》上，四川人民出版社。P1
[4] 陳遵為，《中國(guó)天文學(xué)史》，上海人民出版社，1980
[5] 李繼閔，《算法的源流》，科學(xué)出版社，2007年，p221
曲安京，《中國(guó)歷法與數(shù)學(xué)》，科學(xué)出版社， 2005年，p179
[6] 薄樹(shù)人，“太初歷與三統(tǒng)歷”，見(jiàn)《中國(guó)古代歷法》第四章，中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2008年，p250
本文收稿日期為2009年11月18日
本文發(fā)布日期為2009年11月18日
0556四分術(shù)之“連大” “無(wú)連小”與三統(tǒng)歷“日法”數(shù)源考
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王元金勻 在 2009/12/27 22:16:39 評(píng)價(jià)道：第2樓
本文修訂稿增補(bǔ)了月朔小餘遞增及遞減1分之週期推理，及一次同餘式：940N＝1 (MOD 499) 在N≤499值域內(nèi)N=43，X=81之解法過(guò)程，並增論“小大小大小”連大月距之不可能定理。
更題為“四分術(shù)‘連大月距’與三統(tǒng)曆‘日法’數(shù)源考”。
遂12月23日轉(zhuǎn)布于“簡(jiǎn)帛研究http://www.jianbo.org ”，
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