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《張家山漢簡 算數(shù)書》“大廣”脫字補

 

王元鈞

 

本文摘要：本文利用《九章算術(shù)》求田畝解法和初級代數(shù)的方法，結(jié)合一次同餘式的解法，對張家山二四七號漢墓竹簡《算數(shù)書》“大廣”一篇的脫文進(jìn)行了勘補，並對該簡文已釋文字中的訛錯點進(jìn)行了勘誤。

關(guān)鍵字：張家山漢墓竹簡  算數(shù)書  脫字 一次同餘式

 

張家山二四七號漢墓竹簡《算數(shù)書》“大廣”原文兩簡，第一簡前幾字模糊不清。經(jīng)整理小組辨識，整理出的內(nèi)容兩簡全文如下：

大廣 廣七步九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□為□六十四步有（又）三百三分步之二百七十三。大廣術(shù)（術(shù)）曰：直（置）廣從（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也為實，有（又）各令分母相乘為法，如法得一步，不盈步以法命之。

該段文字的內(nèi)容和術(shù)文翻譯成現(xiàn)代漢語（為描述和計算方便，文中數(shù)字用阿拉伯?dāng)?shù)字代替），意思大致是：

廣7又49分之□步，求縱□又□分之□步的情況下其田畝面積。答案是 64又343分之273（平方）步。計算法（大廣術(shù)）：將廣和縱帶分?jǐn)?shù)的分母分別乘以各自的整數(shù)部分（全步），再加上帶分?jǐn)?shù)各自的分子部分。將廣和縱如此計算後的所得再相乘，作為被除數(shù)（原文需補上逗號為：令相乘也，為實），再將各自的分母相乘，作為除數(shù)（又各令分母相乘，為法）。整理乘得的被除數(shù)（實）和除數(shù)（法），用除數(shù)去除被除數(shù)，被除數(shù)每滿除數(shù)就進(jìn)一（如法得一步），直到被除數(shù)只剩下不足除數(shù)的部分（不盈），以除數(shù)作為分母，被除數(shù)不足除數(shù)的部分作為分子（命之）。

術(shù)文計算過程其實就是將廣和縱兩個“帶分?jǐn)?shù)”值（由一個整數(shù)和一個真分?jǐn)?shù)組成，數(shù)值大於1的最簡分?jǐn)?shù)）演變成“假分?jǐn)?shù)”值（分子大於或等於分母，數(shù)值大於或等於1的分?jǐn)?shù)），再將兩個假分?jǐn)?shù)的分子和分母分別相乘，其中分子相乘所得作為被除數(shù)，分母相乘所得作為除數(shù)。用除數(shù)去除被除數(shù)，被除數(shù)被分成兩個數(shù)，一個是除數(shù)的整數(shù)倍數(shù)，一個是分子小於除數(shù)、分母為除數(shù)的真分?jǐn)?shù)。

正如唐李淳風(fēng)注所說：“大廣田者，初術(shù)直有全步無餘步，次術(shù)空有餘分而無全步，此術(shù)先見全步複有餘分，可以廣兼三術(shù)，故曰大廣?！闭硇〗M只引用了這段注（見《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》（2001年文物出版社，p98），可惜並沒有根據(jù)這個思路去推究出該簡文所脫部分究竟是什麼文字和數(shù)位元。到該書修訂本2006年出版時該處脫文依舊。

 

現(xiàn)借助代數(shù)法推求該段文字所脫部分。

設(shè)“廣7步49分步之□□□”所脫部分為A，按照文意計算，“廣”演變成假分?jǐn)?shù)後的分子為(7×49+A)，分母依然是49。

又設(shè)所脫“縱”的整數(shù)部分（全步）為B，真分?jǐn)?shù)部分的分母為D，分子為C。顯然，這些代數(shù)均為正整數(shù)。

根據(jù)文意，可知：

（7+A/49）×（B+C/D）=64+273/343 （式1）

術(shù)文意即：

這裏，（7×49+A）×（B×D+ C）即為“實”，而49×D為“法”。根據(jù)術(shù)文，廣之分母49乘以縱之分母，得“法”為343。

即49×D ＝343，得：D＝7。

由於A在廣的帶分?jǐn)?shù)運算式中是分母49的分子，C在縱的帶分?jǐn)?shù)運算式中是D的分子，根據(jù)真分?jǐn)?shù)的分子小於分母的特性，則A和C的定義域分別為：

A： 1≤A≤48的整數(shù)； C： 1≤C≤6的整數(shù)。

將D＝7代入式1：（7+ A/49）×（B+ C/7）＝64+273/343  （式2）

整理得：（7+ A/49）×B +（1+A/343）×C ＝64+273/343

則：B ＝（64×49+39）/（A+343）-C/7

B ＝ 3175/（A+343）-C/7  （式3）

A ＝ 3175/（B+C/7）-343  （式4）

C ＝ 22225/（A+343）-7B  （式5）

由式3可知，B與A和C成負(fù)相關(guān)。當(dāng)A和C取最大值時，則B為最小值；A和C取最小值時，則B為最大值。

當(dāng)A＝48，C＝6時，B＝3175/391-6/7≈7.26。

當(dāng)A＝1，C＝1時，B＝3175/344-1/7≈9.09。

即7.26≤B≤9.09。因為B是整數(shù)，所以，B＝8，或B＝9。

即該簡原文第一句似乎應(yīng)為：

“廣七步九分步之□□□縱八（或九）步七分步之□，為田六十四步有（又）三百三分步之二百七十三?！?/SPAN>

至此問題似乎已經(jīng)變得很簡單，因為只要分別將 8或9分別代入以上式中，即可輕鬆推導(dǎo)出A和C這兩個整數(shù)來。

將B＝8代入式4，則：A＝3175 /（8+ C/7）- 343 （式6）

因為1≤C≤6，分別取C＝1、C＝2……C＝6值，代入式6，得：

均不符合A為整數(shù)的要求。故B=8不可取。

同樣，將B=9代入式4，則：A ＝3175/（9+C/7）-343 （式7）

因為1≤C≤6，分別取C＝1、C＝2……C＝6值，代入式7，得：

當(dāng)C＝1時，A＝4.27；C取2至6值時，A均小於0，A同樣無正整數(shù)解。故B＝9亦不可取。

 

可見，據(jù)該文所提供資料進(jìn)行推導(dǎo)，在數(shù)理上無解。 說明整理小組所給圖版釋文中的幾個數(shù)字肯定有訛錯。哪個數(shù)有問題呢？

查看《張家山漢墓竹簡》（文物出版社，2001年，P98）該段圖版得知，“大廣”該段的“有（又）三百三分步之二百七十三”是清晰無疑的，但“六十四步”的“ 四”並不清晰，上述推倒悖論應(yīng)是該數(shù)字出了問題。現(xiàn)設(shè)該數(shù)字為E，因為它是“六十□步”的個位數(shù)，顯然，E的定義域為：

E： 1≤E≤9的整數(shù)。

則式2～式5分別應(yīng)為：

（7+ A/49）×（B+ C/7）＝60+ E +273/343（式8）

經(jīng)整理得：

（343+ A）×（7B+ C）＝343×（60+E）+273

此式相當(dāng)於一個一次同餘式：

（343+ A）×（7B+ C）≡273（mod 343）

目前僅知A和C的定義域（前文所述），B定義域不明，需推求。

根據(jù)式8，有：B ＝[（60+ E）×49+39]/（A+343）- C/7

B ＝（2979+49E）/（A+ 343）- C/7 （式9）

A ＝（2979+49E）/（B+ C/7）- 343（式10）

C ＝（2979+49E）×7/（A+343）-7B（式11）

根據(jù)上述四式，分別推求A、B、C的取值範(fàn)圍：

首先看B：

由式9可知，B與A、C和E的數(shù)值關(guān)係為：

當(dāng)A和C取最大值，且E取最小值時，B為最小值；

當(dāng)A和C取最小值，且E取最大值時，則B為最大值。

即當(dāng)A＝48，C＝6，E＝1時，B是最小值，根據(jù)式9，有：

B＝（2979+49×1）/（48+343）-6/7≈6.89

當(dāng)A＝1，C＝1，E＝9時，B是最大值，根據(jù)式9，有：

B＝（2979+49×9）/（1+343）-1/7≈9.80

因此，B的定義域應(yīng)為“大於6.89，且小於9.8的正整數(shù)”，即：

B值只有7，8或9這三種可能。

再看A：

整理式10，   A＝（2979+49E）/（B+C/7）-343

    ＝7×（2979+49E）/（7B+C）-7×7×7

    ＝7×[（2979+49E）/（7B+C）-7×7]

注意上式中的7B+C，是7的倍數(shù)加上C，因為C小於或等於6的整數(shù)，不可能是7的倍數(shù)，所以7B+C不可能被7整除，因此A必然是7的整數(shù)倍，又因A定義域是1≤A≤48的整數(shù)，則：

A有7，14，21，28，35和42這六種取值可能。

再令A＝7a,顯然a定義域是1≤a≤6的整數(shù)。則式8變更為：

（7+ 7a/49）×（B+ C/7）＝60+ E +273/343 （式12）

再看C：

將A=7a代入式11，有：

C＝（2979+49E）×7/（7a+343）-7B

＝（2979+49E）/（a+49）-7B（式13）

因C定義域為1≤C≤6的整數(shù)，則上式：

1≤（2979+49E）/（a+49）-7B≤6（式14）

再根據(jù)上述各數(shù)值定義域和數(shù)值之間的相關(guān)關(guān)係推求：

利用B定義域為7≤B≤9的整數(shù)的快捷方式：

1、當(dāng)B=7時，整理式14有：50×（a+49）≤2979+49E≤55×（a+49）

因a定義域為1≤a≤6的整數(shù),則

2500≤2979+49E≤3025，E≤0.94，故B＝7導(dǎo)致無意義，非正解。

2、當(dāng)B=9時，根據(jù)式12有： （7+7a/49）×（9+C/7）＝60+E+273/343

即： 63+C+7a×（63+C）/343 ＝60+E+273/343

或：  7a×（63+C）＝343×（E-C-3）+273

這同樣類似一個一次同餘式：

7a×（63+C）≡273（mod 343）

在a和 C定義域為1≤且≤6的整數(shù)時，該式無正整數(shù)解。

3、當(dāng)B=8時，根據(jù)式12有： （7+7a/49）×（8+C/7）＝60+E+273/343

或：  7a×（56+C）＝343×（E-C+4）+273

即一次同餘式：

7a×（56+C）≡273（mod 343）

該同餘式有一組解：a＝3，C＝6；則A＝7a＝21.

代入式12，有（7+3/7）×（8+ 6/7）＝60+ E +273/343，得：

E＝5

因此，上述所設(shè)五數(shù)分別為：A＝21，B＝8，C＝6，D＝7，E＝5.

從小廣和大廣的文意可知,該部分算數(shù)是已知田塊的長和寬求面積,或已知面積、長或?qū)捚渲袃身?/SPAN>,求其第三項。本段“大廣”是當(dāng)長和寬都是帶分?jǐn)?shù)的情況下求其田畝面積。經(jīng)過推理計算，可得知，該文所舉例的長（廣）為7又49分之21步，寬（縱）為8又7分之6步，面積為65又343分之273步。

 

結(jié)論：根據(jù)上下文意和推導(dǎo)，該段文字應(yīng)為：

大廣 廣七步九分步之廿一，求縱八步七分步之六其田。為畝六十五步有（又）三百三分步之二百七十三。大廣術(shù)（術(shù)）曰：直（置）廣縱（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也，為實，有（又）各令分母相乘，為法，如法得一步，不盈步以法命之。

 

參考文獻(xiàn)：

《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》  （張家山二四七號漢墓竹簡整理小組，文物出版社，第一版，2001年，p98）

《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》釋文修訂本  （張家山二四七號漢墓竹簡整理小組，文物出版社，第一版，2006年，p156）

《演算法的源流（東方古典數(shù)學(xué)的特徵）》  （李繼閔著，科學(xué)出版社，第一版，2006年）

《九章算術(shù)·方田》（國學(xué)網(wǎng)）

《孫子算經(jīng)》（國學(xué)網(wǎng)）

 

        本文收稿日期為2009年11月6日

        本文發(fā)佈日期為2009年11月7日

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